ЕГЭ · 11 класс

Показательные и логарифмические неравенства

Начинаем с самых базовых понятий: где находится основание и показатель степени, как приводить выражения к одному основанию и почему при основании между нулём и единицей в неравенстве меняется знак.

Что повторить перед этой темой

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства становятся значительно понятнее, если сначала уверенно освоить свойства степеней. Для логарифмической части также нужно знать определение логарифма и его основные свойства.

Степени — обязательная база

Повторите, как перемножаются и делятся степени с одинаковым основанием, как работает степень степени и отрицательный показатель.

Повторить свойства степеней Проверить свойства степеней

Логарифмы — перед второй частью темы

Нужно понимать, что называется основанием и аргументом логарифма, какие ограничения входят в ОДЗ и как используются свойства логарифмов.

Повторить логарифмы Проверить логарифмы

Сначала разберёмся: где основание, а где показатель степени

В выражении \(7^5\) число \(7\) называется основанием степени, а число \(5\), записанное справа вверху, — показателем степени. Всё выражение \(7^5\) называется степенью числа \(7\) с показателем \(5\).

7⁵

Показатель степени (5)число справа вверху показывает, в какую степень возводят основание

Основание степени (7)это число, которое возводят в степень

Если вместо числа в показателе стоит выражение с переменной, например \(2^{3x-1}\), то основание равно \(2\), а показатель степени равен \(3x-1\).

Для показательной функции \(y=a^x\) в школьном курсе рассматривают основание \(a\gt0\), \(a\ne1\). При таких условиях выражение \(a^x\) определено для любого действительного \(x\), всегда положительно и удобно для сравнения степеней.

Главный приём: привести обе части к одному основанию

В большинстве базовых показательных уравнений и неравенств цель состоит в том, чтобы представить обе части в виде степеней с одним и тем же основанием. После этого работа переносится с больших степенных выражений на их показатели.

Мини-пример: как увидеть общее основание

В уравнении \(8^{x}=4^{x+1}\) числа \(8\) и \(4\) разные, но оба являются степенями числа \(2\): \(8=2^3\), \(4=2^2\). Поэтому

\[(2^3)^x=(2^2)^{x+1}\quad\Longrightarrow\quad2^{3x}=2^{2x+2}.\]

Основание теперь одинаковое, поэтому показатели равны: \(3x=2x+2\), откуда \(x=2\).

Для уравнения при одинаковом основании \(a\gt0\), \(a\ne1\):

\[a^u=a^v\quad\Longleftrightarrow\quad u=v.\]

Для неравенства появляется дополнительный важный момент: ответ зависит от величины основания.

Если \(a\gt1\)
\(a^u\gt a^v\iff u\gt v\).
Знак неравенства сохраняется.

Если \(0\lt a\lt1\)
\(a^u\gt a^v\iff u\lt v\).
Знак неравенства меняется.

Почему знак иногда меняется? При основании больше единицы большая степень даёт большее значение. При основании между нулём и единицей всё наоборот: например, \((1/2)^1=1/2\), а \((1/2)^2=1/4\). Показатель стал больше, а значение степени уменьшилось.

Логарифм: основание и аргумент

В записи \(\log_a b\) число или выражение \(a\) называется основанием логарифма, а \(b\) — аргументом логарифма.

Например, в \(\log_2 8=3\): основание равно \(2\), аргумент равен \(8\), а значение логарифма равно \(3\), потому что \(2^3=8\).

Для вещественного логарифма обязательны условия:

основание положительно: \(a\gt0\);
основание не равно единице: \(a\ne1\);
аргумент положителен: \(b\gt0\).

Если аргумент содержит \(x\), условие его положительности входит в область допустимых значений (ОДЗ). Например, для \(\log_3(x-4)\) обязательно \(x-4\gt0\), то есть \(x\gt4\).

При одинаковом основании логарифмов действуют те же два случая:

Если \(a\gt1\)
\(\log_a u\gt\log_a v\iff u\gt v\), при \(u\gt0,\ v\gt0\).

Если \(0\lt a\lt1\)
\(\log_a u\gt\log_a v\iff u\lt v\), при \(u\gt0,\ v\gt0\).

Алгоритмы решения

Показательное уравнение или неравенство

Попробуйте представить числа и выражения в левой и правой частях как степени одного основания.
Используйте свойства степеней: \(a^m a^n=a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^m/a^n=a^{m-n}\).
Если получилось равенство \(a^u=a^v\), приравняйте показатели.
Если получилось неравенство, сначала определите: \(a\gt1\) или \(0\lt a\lt1\). В первом случае знак сохраняется, во втором — меняется.
Решите полученное обычное алгебраическое уравнение или неравенство.

Логарифмическое уравнение или неравенство

Сначала выпишите ОДЗ: каждый аргумент логарифма должен быть положительным.
Если основания различаются, попробуйте привести логарифмы к одному основанию или преобразовать выражение с помощью свойств логарифмов.
При одинаковом основании сравните аргументы, обязательно учитывая случай \(a\gt1\) или \(0\lt a\lt1\).
Решите полученное алгебраическое неравенство.
В конце пересеките решение с ОДЗ. Корни, нарушающие ОДЗ, в ответ не входят.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Приведение к общему основанию

Решить: \(3^{2x-1}\gt27\).

Шаг 1. В левой части основание уже равно \(3\). Представим правую часть с тем же основанием: \(27=3^3\).

Шаг 2. Получаем \(3^{2x-1}\gt3^3\).

Шаг 3. Основание \(3\gt1\), поэтому знак сохраняется: \(2x-1\gt3\).

Шаг 4. \(2x\gt4\), значит \(x\gt2\).

Ответ: \((2;+\infty)\).

Пример 2. Основание между нулём и единицей

Решить: \(\left(\frac12\right)^{x+1}\ge\frac18\).

Шаг 1. \(\frac18=\left(\frac12\right)^3\), поэтому основания стали одинаковыми.

Шаг 2. Имеем \(\left(\frac12\right)^{x+1}\ge\left(\frac12\right)^3\).

Шаг 3. Здесь \(0\lt\frac12\lt1\), поэтому при переходе к показателям знак меняется: \(x+1\le3\).

Шаг 4. \(x\le2\).

Ответ: \((-\infty;2]\).

Пример 3. Показательное уравнение с разными основаниями

Решить: \(8^x=4^{x+1}\).

Представим обе части как степени двойки: \(8=2^3\), \(4=2^2\). Тогда \(2^{3x}=2^{2x+2}\). Основание одинаковое и не равно единице, поэтому \(3x=2x+2\). Отсюда \(x=2\).

Ответ: \(2\).

Пример 4. Логарифмическое неравенство и ОДЗ

Решить: \(\log_2(x-1)\le3\).

ОДЗ. Аргумент должен быть положительным: \(x-1\gt0\), значит \(x\gt1\).

Число \(3\) можно записать как \(\log_2 8\), поскольку \(2^3=8\). Получаем \(\log_2(x-1)\le\log_2 8\).

Основание \(2\gt1\), поэтому знак сохраняется: \(x-1\le8\), то есть \(x\le9\).

Пересекаем с ОДЗ: \(1\lt x\le9\).

Ответ: \((1;9]\).

Пример 5. Логарифм с основанием меньше единицы

Решить: \(\log_{1/3}(2x-1)\gt-1\).

ОДЗ: \(2x-1\gt0\), значит \(x\gt\frac12\).

Представим правую часть как логарифм: \(-1=\log_{1/3}3\), поскольку \((1/3)^{-1}=3\).

Получаем \(\log_{1/3}(2x-1)\gt\log_{1/3}3\). Основание находится между нулём и единицей, поэтому знак при сравнении аргументов меняется: \(2x-1\lt3\), откуда \(x\lt2\).

С учётом ОДЗ: \(\frac12\lt x\lt2\).

Ответ: \(\left(\frac12;2\right)\).

Пример 6. Сумма логарифмов

Решить: \(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)\ge3\).

ОДЗ: одновременно \(x-1\gt0\) и \(x-3\gt0\). Более сильное условие: \(x\gt3\).

По свойству логарифмов \(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=\log_2((x-1)(x-3))\).

Так как \(3=\log_2 8\) и основание \(2\gt1\), получаем \((x-1)(x-3)\ge8\). После раскрытия скобок: \(x^2-4x-5\ge0\).

Корни квадратного трёхчлена: \(-1\) и \(5\), поэтому \(x\le-1\) или \(x\ge5\). С ОДЗ \(x\gt3\) остаётся только \(x\ge5\).

Ответ: \([5;+\infty)\).

Пример 7. Замена переменной

Решить: \(4^x-5\cdot2^x+4\le0\).

Заметим, что \(4^x=(2^x)^2\). Введём замену \(t=2^x\). Поскольку любая степень двойки положительна, обязательно \(t\gt0\).

Получаем \(t^2-5t+4\le0\), или \((t-1)(t-4)\le0\). Отсюда \(1\le t\le4\).

Возвращаемся к \(t=2^x\): \(1\le2^x\le4\). Представляем границы как степени двойки: \(2^0\le2^x\le2^2\). Поскольку \(2\gt1\), получаем \(0\le x\le2\).

Ответ: \([0;2]\).

Типичные ошибки

Сравнивать показатели при разных основаниях. Из \(2^u\gt3^v\) нельзя сразу сделать вывод о сравнении \(u\) и \(v\).
Не поменять знак при основании \(0\lt a\lt1\).
Забыть ОДЗ логарифмов. Даже правильное алгебраическое решение может содержать запрещённые значения.
Считать, что \(\log_a(u+v)=\log_a u+\log_a v\). Такого свойства нет.
После замены \(t=a^x\) забыть, что \(t\gt0\).