Базовый тест по свойствам степеней

Решение

В записи \(a^n\) число \(a\), стоящее внизу, называется основанием степени, а \(n\), стоящее справа вверху, — показателем степени.

В \(7^5\) основание равно \(7\), показатель степени равен \(5\).

Решение

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7\).

\(2^7=128\).

Решение

При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((5^2)^3=5^{2\cdot3}=5^6\).

\(5^6=15625\).

Решение

Отрицательный показатель означает переход к обратному числу: \(a^{-n}=1/a^n\), если \(a\ne0\).

Поэтому \(x^{-3}=1/x^3\).

Решение

Рациональный показатель можно связать с корнем: \(16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3\).

\(\sqrt[4]{16}=2\), поэтому получаем \(2^3=8\).

Решение

Степень произведения распределяется по множителям: \((3a^2)^3=3^3\cdot(a^2)^3\).

\(3^3=27\), а \((a^2)^3=a^6\).

Итого \(27a^6\).

Решение

Представим \(32\) как степень двойки: \(32=2^5\).

Получаем \(2^x=2^5\). Основания одинаковы, поэтому показатели равны: \(x=5\).

Решение

Приведём обе части к основанию 2: \(4^x=(2^2)^x=2^{2x}\), а \(8=2^3\).

Получаем \(2^{2x}=2^3\), значит \(2x=3\).

\(x=3/2=1{,}5\).

Решение

\(8=2^3\), поэтому \(1/8=1/2^3\).

По определению отрицательного показателя \(1/2^3=2^{-3}\).

Следовательно, показатель равен \(-3\).

Решение

Основания пока разные, но \(8=2^3\). Поэтому правая часть равна \((2^3)^{x-1}=2^{3x-3}\).

Получаем \(2^{x+2}=2^{3x-3}\). При одинаковом основании показатели равны: \(x+2=3x-3\).

\(5=2x\), значит \(x=5/2=2{,}5\).