Базовый тест по неравенствам

Решение

Шаг 1. Представим правую часть с тем же основанием: \(9=3^2\).

Шаг 2. Получаем \(3^{x-1}\gt3^2\).

Шаг 3. Основание \(3\gt1\), поэтому знак неравенства сохраняется: \(x-1\gt2\).

Шаг 4. Прибавляем 1: \(x\gt3\).

Решение

Шаг 1. \(\frac18=\left(\frac12\right)^3\), поэтому основания одинаковы.

Шаг 2. Основание \(\frac12\) находится между нулём и единицей. При переходе к показателям знак меняется.

Шаг 3. Поэтому \(2x\ge3\).

Шаг 4. Делим на 2: \(x\ge\frac32\).

Решение

ОДЗ: \(x-3\gt0\), то есть \(x\gt3\).

Запишем \(2=\log_2 4\). Тогда \(\log_2(x-3)\ge\log_2 4\).

Основание \(2\gt1\), поэтому сравниваем аргументы без изменения знака: \(x-3\ge4\).

Отсюда \(x\ge7\). Это условие автоматически удовлетворяет ОДЗ.

Решение

ОДЗ: \(x+1\gt0\), поэтому \(x\gt-1\).

Заметим: \(-2=\log_{1/2}4\), потому что \((1/2)^{-2}=4\).

Основание \(1/2\) находится между нулём и единицей, поэтому при сравнении аргументов знак меняется: \(x+1\lt4\).

Получаем \(x\lt3\). Пересечение с ОДЗ даёт \(-1\lt x\lt3\).

Решение

Заметим, что \(4^x=(2^x)^2\). Введём \(t=2^x\), причём \(t\gt0\).

Получаем \(t^2-5t+4\le0\), то есть \((t-1)(t-4)\le0\).

Отсюда \(1\le t\le4\). Возвращаемся к \(2^x\): \(1\le2^x\le4\).

Это \(2^0\le2^x\le2^2\). Основание 2 больше единицы, поэтому \(0\le x\le2\).

Решение

Представим \(125\) как степень пятёрки: \(125=5^3\).

Получаем \(5^{x+2}=5^3\). Основания одинаковы и \(5\ne1\), поэтому показатели равны: \(x+2=3\).

Отсюда \(x=1\).

Решение

При основании между нулём и единицей увеличение показателя уменьшает значение степени.

Например, \((1/2)^1=1/2\), а \((1/2)^2=1/4\): показатель 2 больше, но значение меньше.

Поэтому из \(a^u\gt a^v\) при \(0\lt a\lt1\) следует \(u\lt v\).

Решение

ОДЗ: \(x+1\gt0\) и \(x-1\gt0\), поэтому достаточно условия \(x\gt1\).

Объединяем логарифмы: \(\log_3((x+1)(x-1))\ge1\).

Так как \(1=\log_3 3\) и основание \(3\gt1\), получаем \(x^2-1\ge3\), то есть \(x^2\ge4\).

Алгебраически \(x\le-2\) или \(x\ge2\). С ОДЗ \(x\gt1\) остаётся \(x\ge2\).

Решение

Приведём обе части к основанию 3: \(9^x=(3^2)^x=3^{2x}\).

Получаем \(3^{2x}\gt3^{x+2}\).

Основание \(3\gt1\), поэтому сравниваем показатели с тем же знаком: \(2x\gt x+2\).

Вычитаем \(x\): \(x\gt2\).

Решение

Основание \(4\gt1\), а \(0=\log_4 1\). Поэтому неравенство равносильно условию \(x^2-5x+6\gt1\).

Переносим единицу: \(x^2-5x+5\gt0\).

Корни квадратного трёхчлена: \(x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-20}}2=\frac{5\pm\sqrt5}{2}\).

Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому выражение положительно вне промежутка между корнями. Получаем указанные два луча.

Условие \(x^2-5x+6\gt1\) одновременно гарантирует положительность аргумента логарифма, поэтому отдельного дополнительного ограничения уже не требуется.