Алгебра

Логарифмы: определение и свойства

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число.

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\) называют показатель степени \(c\), в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\):

\[\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b.\]

В записи \(\log_a b\) число \(a\) — основание логарифма, а число или выражение \(b\) — аргумент логарифма. Например, \(\log_2 8=3\): основание равно \(2\), аргумент равен \(8\), а значение логарифма равно \(3\), потому что \(2^3=8\).

Область допустимых значений: основание \(a\gt0\), \(a\ne1\); аргумент \(b\gt0\). Если в аргументе стоит выражение с \(x\), его положительность обязательно учитывают при решении уравнений и неравенств.

\(\log_a1=0\), потому что \(a^0=1\).
\(\log_a a=1\), потому что \(a^1=a\).
\(a^{\log_a b}=b\).
\(\log_a(a^x)=x\).

Основные свойства логарифмов

При \(x>0\), \(y>0\), \(a>0\), \(a\ne1\):

\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)

\(\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\)

\(\log_a(x^r)=r\log_a x\)

\(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)

\(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\)

\(\log_{a^p}(b^q)=\dfrac{q}{p}\log_a b\)

В формуле перехода к новому основанию требуется \(c>0\), \(c\ne1\).

Десятичный и натуральный логарифмы

\(\lg x=\log_{10}x\) — десятичный логарифм.
\(\ln x=\log_e x\) — натуральный логарифм, где \(e\approx2{,}71828\).

Логарифмическая функция

Функция \(y=\log_a x\) определена при \(x>0\). Если \(a>1\), она возрастает; если \(0<a<1\), она убывает. Поэтому при решении неравенств для основания между нулём и единицей знак неравенства меняется.

Частые ошибки

Нельзя раскладывать логарифм суммы: \(\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y\).
Каждый аргумент логарифма должен быть положительным.
\(\log_a(x^2)=2\log_a|x|\) при \(x\ne0\). Запись \(2\log_a x\) требует \(x>0\).
Основание логарифма не может быть равно \(1\) и не может быть неположительным.

Примеры

\(\log_2 32=5\), потому что \(2^5=32\).
\(\log_3 27-\log_3 3=\log_3 9=2\).
\(\log_5\sqrt5=\log_5 5^{1/2}=\dfrac{1}{2}\).
\(\log_2 7=\dfrac{\ln7}{\ln2}\).

Сводка формул

\(\log_a b=c\iff a^c=b\)

\(\log_a1=0,\quad\log_a a=1\)

\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)

\(\log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y\)

\(\log_a(x^r)=r\log_a x\)

\(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)