ЕГЭ · геометрия

Теорема синусов

Теорема синусов связывает стороны треугольника с противолежащими углами. Её удобно использовать, когда известна хотя бы одна пара «сторона — противолежащий угол», а также в задачах на радиус описанной окружности.

Видео по теме

Сначала разберём обозначения

В треугольнике \(ABC\) стороны обычно обозначают строчными буквами по названию противолежащей вершины:

\(a=BC\) — сторона напротив угла \(A\);
\(b=AC\) — сторона напротив угла \(B\);
\(c=AB\) — сторона напротив угла \(C\).

Главное правило. В теореме синусов сторона всегда образует пару именно с синусом противолежащего ей угла: \(a\leftrightarrow A\), \(b\leftrightarrow B\), \(c\leftrightarrow C\).

Треугольник ABC со сторонами a, b, c и углами alpha, beta, gamma — На схеме показано стандартное соответствие: стороне \(a\) противолежит угол \(A\) (или \(\alpha\)), стороне \(b\) — угол \(B\) (или \(\beta\)), стороне \(c\) — угол \(C\) (или \(\gamma\)).

Формулировка теоремы синусов

В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон и равно диаметру описанной окружности:

\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.\]

Здесь \(R\) — радиус описанной окружности, поэтому \(2R\) — её диаметр.

Из этой записи сразу получаются три удобные формулы:

\[\begin{aligned}a&=2R\sin A,\\[2pt]b&=2R\sin B,\\[2pt]c&=2R\sin C.\end{aligned}\]

Их особенно удобно использовать в задачах, где известен радиус описанной окружности или требуется его найти.

Доказательство

Докажем одно из равенств: \(a=2R\sin A\). Остальные два получаются точно так же.

Сначала особый случай. Если сторона \(BC=a\) сама является диаметром описанной окружности, то \(a=2R\), а угол \(A=90^\circ\). Поэтому \(a=2R\sin A=2R\cdot1=2R\). В этом случае равенство уже доказано.

Теперь пусть \(BC\) не является диаметром.

Проведём через вершину \(B\) диаметр \(BD\) описанной окружности. Тогда \(BD=2R\).
Угол \(BCD\) опирается на диаметр \(BD\), поэтому \(\angle BCD=90^\circ\). Следовательно, треугольник \(BCD\) прямоугольный.
В этом прямоугольном треугольнике сторона \(BC=a\) лежит напротив угла \(\angle BDC\). Поэтому \[\sin\angle BDC=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{a}{2R}.\]
Углы \(\angle BDC\) и \(\angle BAC=A\) опираются на одну и ту же хорду \(BC\). Они либо равны, либо являются дополнительными; в обоих случаях их синусы равны. Значит, \(\sin A=\sin\angle BDC\).

Следовательно,

\[\sin A=\dfrac{a}{2R}\quad\Longrightarrow\quad a=2R\sin A\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{a}{\sin A}=2R.\]

Аналогично получаем \(\dfrac{b}{\sin B}=2R\) и \(\dfrac{c}{\sin C}=2R\). Теорема доказана.

Как выбирать нужную формулу

Подпишите, какая сторона лежит напротив какого угла.
Найдите известную пару «сторона — противолежащий угол».
Если нужно найти ещё одну сторону или угол, составьте равенство из двух дробей, например \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\).
Если дан радиус описанной окружности, чаще всего быстрее использовать \(a=2R\sin A\).
После вычислений проверьте, что сторона положительна, а угол лежит между \(0^\circ\) и \(180^\circ\).

Разобранные примеры

Пример 1. Найти сторону

Дано: \(a=5\), \(A=30^\circ\), \(B=90^\circ\). Найдите \(b\).

Записываем теорему синусов для сторон \(a\) и \(b\):

\[\dfrac{5}{\sin30^\circ}=\dfrac{b}{\sin90^\circ}.\]

Так как \(\sin30^\circ=\dfrac12\), а \(\sin90^\circ=1\), получаем

Делим 5 на \(\dfrac12\). Чтобы не получать «трёхэтажную» дробь, запишем деление двоеточием:

\[5:\dfrac12=b,\qquad b=5\cdot2=10.\]

Ответ: \(10\).

Пример 2. Найти радиус описанной окружности

Дано: \(a=8\), \(A=30^\circ\). Найдите \(R\).

Используем \(a=2R\sin A\):

\[8=2R\cdot\dfrac12=R.\]

Ответ: \(R=8\).

Пример 3. Найти сторону через радиус

Дано: \(R=5\), \(A=30^\circ\). Найдите \(a\).

\[a=2R\sin A=2\cdot5\cdot\dfrac12=5.\]

Ответ: \(5\).

Пример 4. Найти угол

Дано: \(a=6\), \(b=6\), \(A=30^\circ\). Найдите \(B\).

По теореме синусов:

\[\dfrac{6}{\sin30^\circ}=\dfrac{6}{\sin B}.\]

Отсюда \(\sin B=\sin30^\circ=\dfrac12\). Теоретически синус равен \(\dfrac12\) при \(30^\circ\) и \(150^\circ\), но \(B=150^\circ\) невозможно, потому что тогда \(A+B=180^\circ\) и для угла \(C\) ничего не останется. Поэтому \(B=30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).

Типичные ошибки

Соединить сторону не с тем углом. Правильно: \(a/\sin A\), а не \(a/\sin B\).
Перепутать радиус и диаметр. В полной теореме стоит именно \(2R\).
Забыть, что \(\sin30^\circ=\dfrac12\). В формулу подставляется значение синуса, а не число \(30\).
При нахождении угла не проверить второй возможный угол. Иногда равенство синусов даёт два формальных варианта, и нужно использовать сумму углов треугольника.