ЕГЭ · геометрия

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет найти третью сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними. Если известны все три стороны, с её помощью можно найти косинус любого угла.

Видео по теме

Какие стороны и какой угол брать

Пусть в треугольнике \(ABC\): \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). Тогда сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\).

Треугольник ABC со сторонами a, b, c и углами alpha, beta, gamma — На этой схеме угол \(A\) (или \(\alpha\)) расположен **между сторонами** \(b\) и \(c\), а сторона \(a\) лежит напротив него. Именно эта связка нужна в формуле \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\).

Удобная схема. Ищем \(a\) → берём \(b\), \(c\) и угол \(A\). Ищем \(b\) → берём \(a\), \(c\) и угол \(B\). Ищем \(c\) → берём \(a\), \(b\) и угол \(C\).

Формулировка теоремы косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.\]

Для остальных сторон формулы получаются тем же правилом:

\[\begin{aligned}b^2&=a^2+c^2-2ac\cos B,\\[2pt]c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C.\end{aligned}\]

Как восстановить формулу, если забыли. Для искомой стороны \(a\) сначала запишите \(b^2+c^2\). Затем вычтите \(2bc\cos A\), где \(A\) — угол между сторонами \(b\) и \(c\).

Связь с теоремой Пифагора

Если \(A=90^\circ\), то \(\cos A=0\). Поэтому

\[a^2=b^2+c^2.\]

То есть теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.

Более того, сравнение \(a^2\) и \(b^2+c^2\) позволяет определить вид угла \(A\):

\(a^2\lt b^2+c^2\)угол \(A\) острый

\(a^2=b^2+c^2\)\(A=90^\circ\)

\(a^2\gt b^2+c^2\)угол \(A\) тупой

Доказательство

Случай 1. Угол \(A\) острый

Опустим из вершины \(B\) высоту \(BH\) на сторону \(AC\). Точка \(H\) лежит внутри отрезка \(AC\).

Так как \(AB=c\), в прямоугольном треугольнике \(ABH\):

\[AH=c\cos A,\qquad BH=c\sin A.\]

Поскольку \(AC=b\), получаем \(HC=b-c\cos A\). Теперь применяем теорему Пифагора к треугольнику \(BHC\):

\[a^2=BH^2+HC^2=c^2\sin^2 A+(b-c\cos A)^2.\]

Раскрываем скобки и используем \(\sin^2 A+\cos^2 A=1\):

\[a^2=c^2\sin^2 A+b^2-2bc\cos A+c^2\cos^2 A=b^2+c^2-2bc\cos A.\]

Случай 2. Угол \(A\) тупой

Теперь основание высоты \(H\) лежит на продолжении прямой \(AC\) за точкой \(A\). Поскольку \(\cos A\lt0\), положительная длина \(AH\) равна \(-c\cos A\).

Поэтому

\[HC=AC+AH=b-c\cos A,\qquad BH=c\sin A.\]

И снова по теореме Пифагора:

\[a^2=BH^2+HC^2=c^2\sin^2 A+(b-c\cos A)^2=b^2+c^2-2bc\cos A.\]

Случай 3. Угол \(A=90^\circ\)

Здесь \(\cos A=0\), поэтому формула сразу превращается в \(a^2=b^2+c^2\), то есть в теорему Пифагора.

Таким образом, формула теоремы косинусов верна для острого, прямого и тупого угла.

Когда применять

Известны две стороны и угол между ними. Теорема косинусов позволяет найти третью сторону.
Известны три стороны. Выразите косинус нужного угла, например \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).
Нужно определить вид угла. Сравните квадрат противолежащей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Разобранные примеры

Пример 1. Найти третью сторону

Дано: \(b=5\), \(c=8\), \(A=60^\circ\). Найдите \(a\).

\[a^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ.\]

Так как \(\cos60^\circ=\dfrac12\),

\[a^2=25+64-80\cdot\dfrac12=89-40=49.\]

Значит, \(a=7\).

Ответ: \(7\).

Пример 2. Найти угол по трём сторонам

Дано: \(a=7\), \(b=8\), \(c=5\). Найдите угол \(A\).

Выражаем косинус:

\[\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{64+25-49}{2\cdot8\cdot5}=\dfrac{40}{80}=\dfrac12.\]

Следовательно, \(A=60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Пример 3. Прямоугольный треугольник

Дано: \(b=3\), \(c=4\), \(A=90^\circ\). Найдите \(a\).

Поскольку \(\cos90^\circ=0\),

\[a^2=3^2+4^2=25,\qquad a=5.\]

Ответ: \(5\).

Пример 4. Тупой угол

Дано: \(b=c=5\), \(A=120^\circ\). Найдите \(a^2\).

Так как \(\cos120^\circ=-\dfrac12\),

\[a^2=25+25-2\cdot5\cdot5\cdot\left(-\dfrac12\right)=50+25=75.\]

Ответ: \(75\).

Типичные ошибки

Взять не тот угол. В формуле для \(a^2\) нужен угол \(A\), то есть угол между сторонами \(b\) и \(c\).
Потерять коэффициент 2. Последний член — именно \(2bc\cos A\).
Поставить «плюс» вместо «минус». Формула содержит \(-2bc\cos A\). Если угол тупой, сам косинус отрицателен, поэтому фактически последний вклад становится положительным.
После нахождения \(a^2\) забыть извлечь корень, если в задаче спрашивают длину стороны \(a\).