ЕГЭ · 11 класс
Теория вероятностей
Подробная база без перегрузки лишними формулами: сначала разберём обозначения и смысл событий, затем научимся выбирать нужное действие — дополнение, сложение, умножение или дерево вероятностей.
Сначала договоримся о терминах
В задачах по вероятности важно понимать не только формулы, но и язык, которым описывается случайный опыт.
Случайный опыт (испытание) — действие, результат которого заранее точно неизвестен. Например: бросок кубика, извлечение шара из коробки, выбор случайного билета.
Элементарный исход — один конкретный возможный результат опыта. При броске обычного кубика элементарные исходы: \(1,2,3,4,5,6\).
Событие — набор исходов, обладающих нужным свойством. Например, событие \(A\): «выпало чётное число» содержит исходы \(2,4,6\).
Что означают \(m\) и \(n\) в формуле \(P(A)=m/n\)
Если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность события \(A\) можно считать по классической формуле:
\[P(A)=\frac{m}{n}.\]
- \(n\) — общее число равновозможных исходов опыта;
- \(m\) — число исходов, благоприятных событию \(A\), то есть тех, при которых событие \(A\) происходит;
- обязательно \(0\le m\le n\), поэтому \(0\le P(A)\le1\).
Мини-пример
При броске кубика событие \(A\): «выпало число больше 4». Всего \(n=6\) исходов, благоприятных два — \(5\) и \(6\), значит \(m=2\). Поэтому \(P(A)=2/6=1/3\).
Противоположное событие, объединение и пересечение
Противоположное событие \(\overline A\)
Запись \(\overline A\) читают как «не \(A\)» и называют событием, противоположным \(A\). Оно происходит тогда и только тогда, когда \(A\) не произошло.
\[P(\overline A)=1-P(A).\]
Например, если \(A\) — «стрелок попал», то \(\overline A\) — «стрелок промахнулся».
Объединение \(A\cup B\)
Событие \(A\cup B\) означает: произошло хотя бы одно из событий \(A\) и \(B\) — либо \(A\), либо \(B\), либо оба сразу.
Пересечение \(A\cap B\)
Событие \(A\cap B\) означает, что произошли оба события одновременно: и \(A\), и \(B\).
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
\(P(A\cap B)=0\), поэтому \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же опыте. Для них пересечение невозможно: \(A\cap B=\varnothing\), поэтому \(P(A\cap B)=0\).
Пример. При одном броске кубика события «выпало 2» и «выпало 5» несовместны: один бросок не может одновременно дать два разных результата.
Для сравнения, события «выпало чётное число» и «выпало число больше 3» совместны: при результате 4 или 6 происходят оба события сразу. Поэтому для совместных событий нельзя просто складывать вероятности — общую часть нужно вычесть по формуле выше.
Независимые события и правило умножения
События \(A\) и \(B\) называют независимыми, если наступление одного из них не меняет вероятность другого. Типичный пример — результаты двух бросков одной монеты или двух разных кубиков.
\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\quad\text{для независимых событий}.\]
Если события зависят друг от друга, нельзя автоматически перемножать две исходные вероятности. Нужно учитывать, как изменилась вероятность на следующем шаге.
Выбор без возвращения
Если объект после выбора не возвращают, состав набора меняется. Например, в коробке 5 красных и 3 синих шара. Вероятность первого красного равна \(5/8\). Если красный шар уже вынули, остаётся 4 красных шара из 7, поэтому вероятность второго красного становится \(4/7\).
Вероятность последовательности «первый красный и второй красный» равна \(\frac58\cdot\frac47=\frac5{14}\).
Дерево вероятностей
Когда опыт проходит в несколько шагов, удобно изображать возможные последовательности в виде дерева. Каждая ветвь соответствует одному варианту развития событий.
- Из одной точки выпишите все варианты первого шага и подпишите их вероятности.
- Из каждого полученного узла выпишите варианты второго шага. Если состав меняется, пересчитайте вероятности.
- Вдоль одной ветви вероятности перемножаются, потому что нам нужно, чтобы последовательно произошли все события этой ветви.
- Если нужному событию соответствуют несколько несовместных ветвей, вероятности этих ветвей складываются.
Условная вероятность — что означает вертикальная черта
Запись \(P(B\mid A)\) читается: «вероятность события \(B\) при условии, что событие \(A\) уже произошло».
Строгая формула:
\[P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A)\gt0.\]
В большинстве базовых школьных задач условную вероятность проще понимать непосредственно: после того как первый результат известен, мы считаем вероятность второго события уже в новых условиях.
Подробно разобранные примеры
Пример 1. Равновозможные исходы
Задача. Кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа больше 4.
Всего возможны 6 равновозможных результатов, поэтому \(n=6\). Подходят два результата: 5 и 6, значит \(m=2\).
\[P(A)=\frac{m}{n}=\frac26=\frac13.\]
Ответ: \(1/3\).
Пример 2. Противоположное событие
Задача. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна \(0{,}02\). Найдите вероятность, что она исправна.
Пусть \(A\) — «деталь бракованная». Тогда «деталь исправна» — противоположное событие \(\overline A\).
\[P(\overline A)=1-P(A)=1-0{,}02=0{,}98.\]
Ответ: \(0{,}98\).
Пример 3. Хотя бы одно попадание
Задача. Два стрелка независимо попадают в цель с вероятностями \(0{,}7\) и \(0{,}8\). Найдите вероятность хотя бы одного попадания.
Событие «хотя бы один попал» удобнее считать через противоположное: «оба промахнулись».
Вероятности промаха: \(1-0{,}7=0{,}3\) и \(1-0{,}8=0{,}2\). Стрелки действуют независимо, поэтому вероятность двух промахов равна \(0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06\).
Искомая вероятность: \(1-0{,}06=0{,}94\).
Ответ: \(0{,}94\).
Пример 4. Два шара без возвращения
Задача. В коробке 5 красных и 3 синих шара. Два шара выбирают подряд без возвращения. Найдите вероятность, что оба окажутся красными.
Первый красный выбирается с вероятностью \(5/8\). После этого в коробке остаётся 7 шаров, из них красных — 4. Значит, вероятность второго красного при условии первого красного равна \(4/7\).
Для одной последовательности событий вероятности перемножаем: \(\frac58\cdot\frac47=\frac{20}{56}=\frac5{14}\).
Ответ: \(5/14\).
Пример 5. Несколько подходящих ветвей
Задача. В коробке 2 белых и 1 чёрный шар. Дважды вытаскивают по одному шару без возвращения. Найдите вероятность, что шары окажутся разных цветов.
Есть две несовместные подходящие последовательности: «белый, затем чёрный» и «чёрный, затем белый».
Первая ветвь: \(\frac23\cdot\frac12=\frac13\). Вторая ветвь: \(\frac13\cdot1=\frac13\).
Ветви несовместны, поэтому складываем: \(\frac13+\frac13=\frac23\).
Ответ: \(2/3\).
Типичные ошибки
- Использовать \(P(A)=m/n\), когда исходы не являются равновозможными.
- Путать \(A\cup B\) («хотя бы одно») и \(A\cap B\) («оба одновременно»).
- Складывать вероятности событий, которые могут произойти одновременно, и забывать вычесть пересечение.
- При выборе без возвращения использовать прежний знаменатель и не учитывать изменение состава.
- Для слов «хотя бы один» усложнять перебор вместо перехода к противоположному событию.