Базовый тест по теории вероятностей

Решение

Всего у кубика \(n=6\) равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Событию «число больше 4» благоприятствуют \(m=2\) исхода: 5 и 6.

По классической формуле \(P(A)=m/n=2/6=1/3\).

Решение

Всего \(n=10\) равновозможных чисел.

Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10 — их \(m=5\).

Поэтому \(P=5/10=1/2\).

Решение

События «брак» и «исправна» противоположны: одно из них обязательно происходит и одновременно они произойти не могут.

Если \(A\) — «брак», то \(P(\overline A)=1-P(A)\).

\(1-0{,}02=0{,}98\).

Решение

Слово «независимые» позволяет использовать правило умножения.

Пересечение событий означает, что должны произойти оба события: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

\(0{,}7\cdot0{,}8=0{,}56\).

Решение

Фраза «хотя бы одно попадание» означает один или два успешных выстрела. Быстрее считать противоположное событие — «оба промахнулись».

Вероятности промаха равны \(0{,}3\) и \(0{,}2\). Стрелки независимы, поэтому \(P(\text{оба промахнулись})=0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06\).

Искомая вероятность: \(1-0{,}06=0{,}94\).

Решение

Несовместные события не могут произойти одновременно, поэтому их пересечение имеет вероятность 0.

Для объединения таких событий вероятности просто складываются: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

\(0{,}25+0{,}35=0{,}60\).

Решение

Вероятность первого красного шара равна \(5/8\).

После того как красный шар вынут и не возвращён, остаётся 7 шаров, из них красных 4. Поэтому вероятность второго красного при таком первом выборе равна \(4/7\).

Нужна одна последовательность «красный и красный», поэтому вероятности перемножаем: \(\frac58\cdot\frac47=\frac{20}{56}=\frac5{14}\).

Решение

Объединение \(A\cup B\) означает «произошло хотя бы одно из событий».

Если просто сложить \(P(A)+P(B)\), случаи, когда произошли оба события, будут посчитаны дважды. Поэтому пересечение нужно один раз вычесть.

\(P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}2=0{,}9\).

Решение

Подходят две несовместные последовательности: белый–чёрный и чёрный–белый.

Белый–чёрный: \(\frac23\cdot\frac12=\frac13\).

Чёрный–белый: \(\frac13\cdot1=\frac13\), потому что после извлечения единственного чёрного остаются только белые.

Складываем вероятности двух несовместных ветвей: \(1/3+1/3=2/3\).

Решение

Всего учеников \(n=3+7=10\). Благоприятных исходов — выбор одной из 3 девочек, поэтому \(m=3\).

При равновозможном выборе каждого ученика \(P=3/10=0{,}3\).