Алгебра
Корни: определение и свойства
Корень \(n\)-й степени позволяет найти число, которое после возведения в степень \(n\) даёт заданное значение.
Определение корня
Корнем \(n\)-й степени из числа \(a\) называют число \(b\), для которого \(b^n=a\). Запись:
\[\sqrt[n]{a}=b\quad\Longleftrightarrow\quad b^n=a.\]
- Если \(n\) чётно, то в действительных числах требуется \(a\ge0\), а значение \(\sqrt[n]{a}\) выбирается неотрицательным.
- Если \(n\) нечётно, корень существует для любого действительного \(a\) и имеет тот же знак, что и \(a\).
- При \(n=2\) пишут \(\sqrt a\) и называют это арифметическим квадратным корнем.
Не путайте: \(\sqrt{36}=6\), а уравнение \(x^2=36\) имеет два решения: \(x=\pm6\).
Основные свойства корней
\((\sqrt[n]{a})^n=a\)
\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\), если \(n\) чётно
\(\sqrt[n]{a^n}=a\), если \(n\) нечётно
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
Для корней чётной степени подкоренные выражения должны быть неотрицательными; в знаменателе — строго положительными. Для нечётных корней свойства произведения действуют и для отрицательных чисел.
Связь корня со степенью
При \(a>0\) корень можно записать как степень с рациональным показателем:
\[\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}.\]
Вынос множителя из-под корня:
- при чётном \(n\): \(\sqrt[n]{a^n b}=|a|\sqrt[n]{b}\);
- при нечётном \(n\): \(\sqrt[n]{a^n b}=a\sqrt[n]{b}\).
Примеры
- \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\).
- \(\sqrt[3]{-125}=-5\), потому что \((-5)^3=-125\).
- \(\sqrt{x^2}=|x|\), а не просто \(x\).
- \(\sqrt[4]{16^3}=16^{3/4}=8\).
Сводка формул
\((\sqrt[n]{a})^n=a\)
\(\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|\)
\(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a\)
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\), \(a>0\)