Часть 1
Задания с кратким ответом
В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 10\), \(CD = 16\). Найдите периметр четырёхугольника \(ABCD\).
Даны векторы \(\vec{a}(3;-2)\) и \(\vec{b}(0;1)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(B_{1}\) правильной треугольной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\), площадь основания которой равна \(3\), а боковое ребро равно \(8\).
В сборнике билетов по математике \(52\) билета, в тринадцати из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Логарифмы».
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна \(0{,}4\). Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6-2x}=4\).
Найдите значение выражения \(2\sqrt{3}\cos^2{\dfrac{13\pi}{12}}-\sqrt{3}\).
На рисунке изображён график \(y=f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-4;7)\). В какой точке отрезка \([-2;3]\) функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение?
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому \(P=\sigma ST^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды (в ваттах), \(\sigma=5{,}7\cdot10^{-8}\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}\) — постоянная, \(S\) — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а \(T\) — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\dfrac{1}{729}\cdot10^{20}\text{ м}^2\), а мощность её излучения равна \(5{,}13\cdot10^{25}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за \(6\) минут, а одна Таня — за \(24\) минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?
На рисунке изображён график функции \(f(x)=a^x\). Найдите \(f(4)\).
Найдите точку минимума функции \(y=5x-\ln(x-7)\).
Часть 2
Задания с развёрнутым решением
а) Решите уравнение \(\sin 2x-\cos(\pi-x)=0\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).
После выбора ответ фиксируется и изменить его нельзя.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) равны \(10\). Точка \(O\) — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой \(SA\) и проходящая через точку \(O\), пересекает рёбра \(SC\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN:ND=2:3\).
Каждый выбранный ответ фиксируется отдельно и изменить его нельзя.
Решите неравенство \(3^x-8-\dfrac{2\cdot3^{x+1}-19}{9^x-5\cdot3^x+6}\leqslant\dfrac1{3^x-3}\).
После выбора ответ фиксируется и изменить его нельзя.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) и общая сумма платежей составит \(375\,000\) рублей?
После выбора ответ фиксируется и изменить его нельзя.
Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB=CD=3\) и \(BC=DE=4\).
Каждый выбранный ответ фиксируется отдельно и изменить его нельзя.
Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases}x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x|\end{cases}\) имеет 2 решения.
После выбора ответ фиксируется и изменить его нельзя.
В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна \(20\) тонн или \(40\) тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет \(40\%\) от общего количества контейнеров.
Каждый выбранный ответ фиксируется отдельно и изменить его нельзя.
