Базовый тест по производной

Решение

Производную суммы и разности находим по слагаемым.

\((x^4)'=4x^3\), \((-3x^2)'=-6x\), а производная постоянного числа \(7\) равна нулю.

Поэтому \(f'(x)=4x^3-6x\).

Решение

Формула производной уже дана. Нужно только подставить \(x=3\).

\(f'(3)=2\cdot3-5=6-5=1\).

Решение

Используем правило производной разности: \((u-v)'=u'-v'\).

\((\sin x)'=\cos x\), а \((\cos x)'=-\sin x\).

Поэтому \(y'=\cos x-(-\sin x)=\cos x+\sin x\).

Решение

Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\) равен значению производной \(f'(x_0)\).

Для \(f(x)=x^2\) имеем \(f'(x)=2x\).

Подставляем \(x_0=2\): \(f'(2)=4\). Значит, наклон касательной равен 4.

Решение

Функция убывает там, где её производная отрицательна.

Решаем \(x-3\lt0\).

Получаем \(x\lt3\). При \(x=3\) производная равна нулю, поэтому эта точка не входит в открытый промежуток убывания.

Решение

Это сложная функция. Внешняя функция — пятая степень, внутренняя — \(2x+1\).

Производная внешней части: \(5(2x+1)^4\).

Производная внутренней части: \((2x+1)'=2\).

Перемножаем: \(y'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4\).

Решение

Сначала найдём производную: \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\).

Критические точки этой функции возникают при \(f'(x)=0\).

\((x-1)(x+1)=0\), поэтому \(x=1\) или \(x=-1\).

Производная многочлена существует при всех \(x\), других критических точек нет.

Решение

Производная: \(f'(x)=2x-4\).

На промежутке \([0;2)\) производная отрицательна, а при \(x=2\) равна нулю. Значит, на всём отрезке функция убывает до правого конца.

Следовательно, наименьшее значение достигается при \(x=2\).

\(f(2)=4-8+5=1\).

Решение

Знак производной показывает направление изменения функции.

Если \(f'(x)\lt0\) на всём рассматриваемом промежутке, при увеличении \(x\) значения функции уменьшаются.

Следовательно, функция убывает.

Решение

Это произведение двух функций: \(u=x\) и \(v=e^x\).

Используем правило \((uv)'=u' v+uv'\).

\(u'=1\), \(v'=e^x\). Поэтому \(y'=1\cdot e^x+x\cdot e^x\).

Выносим \(e^x\): \(y'=(x+1)e^x\).